Question

（2005•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=mx³+mx²+3x在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：f′（x）=3mx²+2mx+3，由f（x）在R上遞增可知恒有f′（x）≥0成立，分m=0；m＜0；0＜m＜9；m=9；m＞9幾種情況進(jìn)行討論即可．

解答：解：f′（x）=3mx²+2mx+3，
（I）當(dāng)m=0時(shí)，f'（x）=3＞0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)；  
（II）當(dāng)m≠0時(shí)，由f'（x）=0，得△=4m²-36m=4m（m-9），
①當(dāng)m＜0時(shí)，f'（x）開口向下且△＞0，說明存在區(qū)間使f'（x）＜0，
∴m＜0時(shí)，f（x）在R上不是增函數(shù)；  
②當(dāng)0＜m＜9時(shí)，f'（x）開口向上且△＜0，說明f′（x）恒大于0，
∴0＜m＜9時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)； 
③當(dāng)m=9時(shí)，f(x)=9x3+9x2+3x=9(x+

1

3

)3-

1

9

，
由函數(shù)y=x³的單調(diào)性可知，m=9時(shí)，f（x）在R上增函數(shù)； 
④當(dāng)m＞9時(shí)，f'（x）開口向上且△＞0，說明存在區(qū)間使f′（x）＜0，
∴m＞9時(shí)，f（x）在R上不是增函數(shù)；
綜上所述，所求m的取值范圍是[0，9]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定函數(shù)的單調(diào)性．