Question

2．已知函數(shù)f（x）=log_ax+b（a＞0，a≠1）的定義域、值域都是[1，2]，則a+b=$\frac{5}{2}$或3．

Answer 1

分析 分類討論a的取值范圍，得到函數(shù)單調(diào)性，代入數(shù)據(jù)即可求解．

解答 解：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，易知函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
由題意有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=b=2}\\{f（2）=lo{g}_{a}2+b=1}\end{array}\right.$解得：a=$\frac{1}{2}$，b=2，符合題意，此時(shí)a+b=$\frac{5}{2}$；
當(dāng)a＞1時(shí)，易知函數(shù)為增函數(shù)，由題意有$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=b=1}\\{f（2）=lo{g}_{a}2+b=2}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=1，符合題意，此時(shí)a+b=3．
綜上可得：a+b的值為$\frac{5}{2}$或3．
故答案為：$\frac{5}{2}$或3．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論的思想方法．分類討論函數(shù)的單調(diào)性是正確解決本題關(guān)鍵．屬于易錯(cuò)題．