Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最小值；
（3）證明不等式：2•

4

3

•

8

7

…

2n

2n-1

＜e 

5

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與曲線斜率的公式即可求得結(jié)論；
（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的最小值；
（3）利用（1）的結(jié)論得lnx≤x-1，故ln[(1+1)(1+

1

3

)(1+

1

7

)…(1+

1

2n-1

)]=ln(1+1)+ln(1+

1

3

)+ln(1+

1

7

)…+ln(1+

1

2n-1

)≤1+

1

3

+…+

1

2n-1

利用不等式放縮即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=1-

1

x

，則f'（1）=0，故曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線為y=0．
（2）f′(x)=

ax-1

x

(x＞0)，則
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，
此時(shí)f（x）在[

1

2

，2]上單減，故f（x）_min=f（2）=2a-1-ln2
②當(dāng)a＞0時(shí)，
（Ⅰ）0＜

1

a

≤

1

2

，即a≥2，f（x）在上單增，故f(x)min=f(

1

2

)=

a

2

-1+ln2；
（Ⅱ）

1

2

＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜2，f（x）在[

1

2

，

1

a

)單減，在[

1

a

，2]單增，故f(x)min=f(

1

a

)=lna．
（Ⅲ）

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

，f（x）在[

1

2

，2]上單減，故f（x）_min=f（2）=2a-1-ln2
綜上f（x）_min=

2a-1-ln2，a≤ 1 2 lna， 1 2 ＜a＜2 a 2 -1+ln2，a≥2

（3）由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．則函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，也即在區(qū)間（0，+∞）的最小值．
則∵f（x）=x-1-lnx≥f（1）=0，
∴l(xiāng)nx≤x-1
故當(dāng)n∈N^*且n≥2時(shí)，ln[(1+1)(1+

1

3

)(1+

1

7

)…(1+

1

2n-1

)]=ln(1+1)+ln(1+

1

3

)+ln(1+

1

7

)…+ln(1+

1

2n-1

)≤1+

1

3

+…+

1

2n-1

∵

1

2n-1

=

2n+1-1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
∴1+

1

3

+…+

1

2n-1

＜1+2[(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]
∴ln(1+1)+ln(1+

1

3

)+ln(1+

1

7

)…+ln(1+

1

2n-1

)＜

5

3

即(1+1)(1+

1

3

)(1+

1

7

)…(1+

1

2n-1

)＜e

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程及判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值等知識(shí)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及分類討論思想轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用能力，綜合性、邏輯性強(qiáng)，屬難題．