已知函數(shù)f（x）=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4

（1）若f（x）=1，求cos（
2π
3
-x）的值
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足acosC+
1
2
c=b，求f（2B）的取值范圍．
考點：正弦定理,二倍角的正弦
專題：解三角形
分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式整理，根據(jù)f（x）=1求得x的值，代入cos（
2π
3
-x）即可．
（2）根據(jù)正弦定理和已知等式求得cosA的值，進而求得A，則B的范圍可得，最后根據(jù)B的范圍求得函數(shù)f（2B）的范圍．
解答： 解：（1）f（x）=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=sin（
x
2
+
π
6
）+
1
2
，
∵f（x）=1，
∴sin（
x
2
+
π
6
）=
1
2
，
∴
x
2
+
π
6
=2kπ+
π
6
，或
x
2
+
π
6
=2kπ+
5π
6
，
∴x=4kπ，或x=4kπ+
4π
3
，
∴cos（
2π
3
-x）=cos（
2π
3
-4kπ）=cos
2π
3
=-
1
2
，
或cos（
2π
3
-x）=cos（
2π
3
-4kπ-
4
3
）=cos（4kπ+
2π
3
）=-
1
2
，
綜合cos（
2π
3
-x）=-
1
2
．
（2））∵acosC+
1
2
c=b
∴由正弦定理得 sinAcosC+
1
2
sinC=sinB
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA代入上式 有
sinAcosC+
1
2
sinC=sinAcosC+sinCcosA 
∴
1
2
sinC=sinCcosA     得cosA=
1
2
，A=
π
3
，
又三角形是銳角三角形，故必有
C=
2π
3
-B＜
π
2
B＜
π
2

解得
π
6
＜B＜
π
2
，
∴
π
3
＜B+
π
6
＜
2π
3
，
∴
1+
3
2
＜f（2B）=sin（B+
π
6
）+
1
2
＜
3
2
，
即f（2B）的取值范圍（
1+
3
2
，
3
2
）．
點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的理解和靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式a+2b+3＞（
a
+2
b
）λ對任意正數(shù)a，b恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為（　　）
A、（-∞，3）
B、（-∞，2）
C、（-∞，1）
D、（-∞，
1
2
）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某種產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
廣告費用x（萬元） 1 2 3 4 5
銷售額y（萬元） 10 12 15 18 20
（1）利用所給數(shù)據(jù)求廣告費用x與銷售額y之間的線性回歸方程y=a+bx；
（2）預(yù)計在今后的銷售中，銷售額與廣告費用還服從（1）中的關(guān)系，如果廣告費用為6萬元，請預(yù)測銷售額為多少萬元？
附：其中b=
x1y1+x2y2+…+xnyn-n
.
x
•
.
y
x12+x22+…+xn2-n(
.
x
)2
，a=
.
y
-b
.
x
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求曲線在點（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[
1
2
，2]上的最小值；
（3）證明不等式：2•
4
3
•
8
7
…
2n
2n-1
＜e 
5
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cosωx（sinωx-
3
cosωx），（ω＞0，x∈R）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求實數(shù)ω的值．
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，若f（
B
2
）=
2
-
6
-2
3
4
，|
AB
+
AC
|=|
AB
-
AC
|=8，求△ABC的周長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）設(shè)△ABC中，c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a、b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=
2x+a ， x＜1
-x-2a， x≥1

（1）若a=-3，求f（10），f（f（10））的值；
（2）若f（1-a）=f（1+a），求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E點為DD1中點．
（1）求證：平面ACE⊥平面BDD1．
（2）求證：BD1∥平面ACE．
（3）求二面角E-AC-D的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若二項式（
cosθ
x
-x）6的展開式中的常數(shù)項為20，則θ=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案