【題目】在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O1A1B1C1中,E,F分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF,求證:A1F⊥C1E.
【答案】見解析
【解析】
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(a,0,a),C1(0,a,a).
設(shè)AE=BF=x,則E(a,x,0),F(a-x,a,0),所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).
則計(jì)算即可.
證明:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(a,0,a),C1(0,a,a).
設(shè)AE=BF=x,則E(a,x,0),F(a-x,a,0),所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).
因?yàn)?/span>=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以,即A1F⊥C1E.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C: =1(a>1)的左、右焦點(diǎn),P為橢圓C上任意一點(diǎn),且 的最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l,F(xiàn)2N⊥l,求四邊形F1MNF2面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣ ax2 , a∈R,
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時(shí)求出極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體ABCD—A1B1C1D1中,若E為A1C1中點(diǎn),則直線CE垂直于( )
A. AC B. BD C. A1D D. A1A
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)問是否存在實(shí)數(shù)α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:經(jīng)過點(diǎn)(,),且兩個(gè)焦點(diǎn),的坐標(biāo)依次為(1,0)和(1,0).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè),是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),直線的斜率為,直線的斜率為,求當(dāng)為何值時(shí),直線與以原點(diǎn)為圓心的定圓相切,并寫出此定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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