Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²-m，g（x）=3e^x-6（1-m）x-3（m∈R，e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）．
（1）試討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）證明：當(dāng)m＞0，且x＞0時(shí)，總有g(shù)（x）＞f'（x）．

Answer 1

分析 （1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x³-3x²=m的根，令h（x）=x³-3x²，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的極值，通過(guò)討論m的范圍判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；
（2）設(shè)h（x）=g（x）-f′（x）=3e^x-3x²+6mx-3，（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）＞h（0），從而證明結(jié)論．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）的零點(diǎn)即方程x³-3x²=m的根，
令h（x）=x³-3x²，則h′（x）=3x（x-2），
令h′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故h（x）在（-∞，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
而h（0）=0，h（2）=-4，
故m＞0或m＜-4時(shí)，函數(shù)1個(gè)零點(diǎn)，
m=0或m=-4時(shí)，函數(shù)2個(gè)零點(diǎn)，
-4＜m＜0時(shí)，函數(shù)3個(gè)零點(diǎn)；
（2）證明：f′（x）=3x²-6x，
設(shè)h（x）=g（x）-f′（x）=3e^x-3x²+6mx-3，（x＞0），
則h′（x）=3（e^x-2x+2m），
令m（x）=e^x-2x+2m，則m′（x）=e^x-2，
令m′（x）＞0，解得：x＞ln2，
令m′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故m（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，
故m（x）≥m（ln2）=2（m-ln2+1），
由m＞0，解得：m＞ln2-1，
故m（ln2）＞0，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，
故x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，
故m＞0且x＞0時(shí)，g（x）＞f'（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．