Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．若函數(shù)y=|f（x）-t|-2011有二個零點，則實數(shù)t的取值范圍是________．

Answer 1

（-2010，2012）
分析：先判斷函數(shù)f（x）的極小值，再由y=|f（x）-t|-1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，根據(jù)t-1應(yīng)是f（x）的極小值，解出t；已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1．若函數(shù)y=|f（x）-t|-2011有三個零點，則實數(shù)t的值是
解答：f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna
由于a＞1，故當(dāng)x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a＞0，a≠1時，因為f′（0）=0，且f′（x）在R上單調(diào)遞增，
故f′（x）=0有唯一解x=0
所以x，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

又函數(shù)y=|f（x）-t|-2011有三個零點，所以方程f（x）=t±2011有二個根，
而t+2011＞t-2011，所以|t-2011|＜（f（x））_min=f（0）=1，解得t∈（-2010，2012），
故答案為（-2010，2012）．
點評：本題考查函數(shù)的零點，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．