（2012•自貢一模）某中學(xué)在高二開設(shè)了4門選修課，每個(gè)學(xué)生必須且只需選修1門選修課，對(duì)于該年級(jí)的甲、乙、丙3名學(xué)生．
（I）求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率；
（II）求恰有2門選修課沒(méi)有被這3名學(xué)生選擇的概率；
（III）求某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
分析：（I）已知高二開設(shè)了4門選修課，每個(gè)學(xué)生必須且只需選修1門選修課，每一人都有4種選擇，總共有43，互不相同的則有A43，從而求解；
（II）恰有2門選修課沒(méi)有被這3名學(xué)生選擇的概率，則有C42C32A22，從而求解；
（III）某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3，分別算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．
解答：解：（Ⅰ）3名學(xué)生選擇了3門不同的選修課的概率：
則P1=
A
3
4
4
3
 
=
4×3×2
4×4×4
=
3
8
（3分）
（Ⅱ） 恰有2門選修課這3名學(xué)生都沒(méi)選擇的概率：P2=
C
2
4
C
2
3
A
2
2
4
3
 
=
2×3×3×2
4×4×4
=
9
16
（6分）
（Ⅲ） 設(shè)某一選修課被這3名學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3     （7分）
P（ξ=0）=
33
43
=
27
64
  P（ξ=1）=
C
1
3
32
43
=
27
64

P（ξ=2）=
3•
C
1
3
43
=
9
64
  P（ξ=3）=
C
3
3
43
=
1
64

分布列如下圖：
ξ 0 1 2 3
P
27
64
27
64
9
64
1
64
∴Eξ=0×
27
64
+1×
27
64
+2×
9
64
+3×
1
64
=
3
4
（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，此類題也是高考必考的熱點(diǎn)，平時(shí)我們要多加練習(xí)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•自貢一模）已知
a
+
b
+
c
=
0
，且
a
與
c
的夾角為60°，|
b
|=
3
|
a
|，則cos＜
a
，
b
＞等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•自貢一模）已知函數(shù)f（x）=
2x     ，x≥0
x(x+1)，x＜0
，則f（-2）等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•自貢一模）f（x）是以4為周期的奇函數(shù)，f(
1
2
)=1且sinα=
1
4
，則f（4cos2α）=
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•自貢一模）要研究可導(dǎo)函數(shù)f（x）=（1+x）n（n∈N*）在某點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率，有兩種方案可供選擇：①直接求導(dǎo)，得到f′（x），再把橫坐標(biāo)x0代入導(dǎo)函數(shù)f′（x）的表達(dá)式；②先把f（x）=（1+x）n按二項(xiàng)式展開，逐個(gè)求導(dǎo)，再把橫坐標(biāo)x0代入導(dǎo)函數(shù)f′（x）的表達(dá)式．綜合①②，可得到某些恒等式．利用上述思想方法，可得恒等式：Cn1+2Cn2+3Cn3+…nCnn=
n•2n-1
n•2n-1
 n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•自貢一模）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且同時(shí)滿足：①對(duì)于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3；②f（1）=4；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-3．
（I）求f（0）的值；
（II）求函數(shù)f（x）的最大值；
（III）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1=1，Sn=-
1
2
(an-3)，n∈N*，求證：f(a1)+f(a2)+…+f(an)＜
3
2
log3
27
a
2
n
．

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