Question

6．已知實數(shù)a＞0，且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a|x|在（-∞，0）上是減函數(shù)，又g（x）=a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$，則下列選項正確的（　�。�

• A． g（-2）＜g（1）＜g（3）
• B． g（1）＜g（-2）＜g（3）
• C． g（3）＜g（-2）＜g（1）
• D． g（-2）＜g（3）＜g（1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的解析式，結(jié)合其在（-∞，0）上是減函數(shù)，分析可得a＞1，對于g（x），分析可得為偶函數(shù)且函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，據(jù)此分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，當x∈（-∞，0）時，f（x）=log_a|x|=log_a（-x），
若函數(shù)f（x）=log_a|x|在（-∞，0）上是減函數(shù)，即log_a（-x）在在（-∞，0）上是減函數(shù)，
則有a＞1，
又g（x）=a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$，有g（-x）=a^-x+$\frac{1}{{a}^{-x}}$=a^x+$\frac{1}{{a}^{x}}$=g（x），即g（x）=g（-x），則函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
則有g（-2）=g（2），
當x＞0時，g′（x）=a^xlna-$\frac{1}{{a}^{x}}$lna=lna（a^x-$\frac{1}{{a}^{x}}$）＞0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
則g（1）＜g（2）=g（-2）＜g（3）；
故選：B．

點評 本題考查的知識點是復合函數(shù)單調(diào)，其中利用復合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，確定底數(shù)a的取值范圍是解答本題的關鍵．