Question

（本題滿分15分）已知過(guò)拋物線y2＝2px（p>0）的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1<x2）兩點(diǎn)，且|AB|＝9．

（1）求該拋物線的方程；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求λ的值．

Answer 1

（1）9；（2）λ＝0，或λ＝2

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出直線AB方程，由拋物線與直線聯(lián)立消y得4x2－5px＋p2＝0，利用拋物線定義可得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，故拋物線方程是；（2）由（1）可得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，），B（4，），由向量坐標(biāo)運(yùn)算及可得＝（1，）＋λ（4，）＝（4λ＋1, λ），再由C坐標(biāo)滿足拋物線方程得[ （2λ－1）]2＝8（4λ＋1） 或

試題解析：（1）直線AB的方程是，與聯(lián)立，

從而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝， 3分

由拋物線定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 5分

所以p＝4，從而拋物線方程是． 7分

（2）由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可簡(jiǎn)化為x2－5x＋4＝0，

所以x1＝1，x2＝4，y1＝，y2＝，

所以A（1，），B（4，）； 10分

設(shè)＝（x3，y3）＝（1，）＋λ（4，）＝（4λ＋1, λ）， 12分

又，即[ （2λ－1）]2＝8（4λ＋1），

即（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2． 15分

考點(diǎn)：拋物線及其應(yīng)用