Question

15．過(guò)拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中A在第一象限．則|y₁-4y₂|的最小值為（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)和定義，分焦點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率存在和不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB：x=ky+1，根據(jù)韋達(dá)定理求出y₁y₂=-4，再利用基本不等式即可求出最值．

解答 解：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB：x=1，
則代入拋物線(xiàn)方程y²=4x，可得y=±2，則|y₁-4y₂|=|2+8|=10，
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB：x=ky+1，
代入拋物線(xiàn)方程，可得y²-4ky-4=0
則y₁y₂=-4，
∴|y₁-4y₂|²=y₁²+（4y₂）²-8y₁y₂≥8|y₁y₂|-8y₁y₂=64，當(dāng)且僅當(dāng)y₁=4，y₂=-1取等號(hào)，
∴|y₁-4y₂|≥8，
綜上所述|y₁-4y₂|的最小值為8，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，同時(shí)考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和基本不等式，屬于中檔題．