Question

11．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}，等比數(shù)列{b_n}滿足：a₁=b₁=1，a₂=b₂，2a₃-b₃=1．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$log_3^{b_n}$}的前項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，列方程即可求公差和公比，即可求得數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題意可知：求得log₃3^n-1=n-1，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得S_n．

解答 解：（1）由設(shè)等差的公差為d，首項(xiàng)a₁，等比數(shù)列{b_n}公比為q，首項(xiàng)為b₁，
則a₁=1，b₁=1，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=_{1}q}\\{2（{a}_{1}+2d）-_{1}{q}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{2（1+2d）-{q}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}\right.$（舍去），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，b_n=b₁q^n-1=3^n-1，
∴數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式a_n=2n-1，{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=3^n-1；
（2）$log_3^{b_n}$=log₃3^n-1=n-1，
則S_n=0+1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．