Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα）（0≤α＜2π），$\overrightarrow$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線．
（1）證明：向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直；
（2）當(dāng)兩個(gè)向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$的模相等時(shí)，求角α．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算兩向量的模長(zhǎng)可發(fā)現(xiàn)$\overrightarrow{a}$²=${\overrightarrow}^{2}$=1．得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0即可．
（2）由（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$）²，可得4+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，即-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=0，tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可求得α．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$²=cos²α+sin²α=1，${\overrightarrow}^{2}$=（-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1．
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=1-1=0，
∴向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直．
（2）∵向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$的模相等，
∴（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$）²，
整理得4+2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4-2$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，
即-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=0，
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0≤α＜2π，∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題