Question

已知函數(shù)f（x）=x-ln（1+x）．?dāng)?shù)列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=

1

2

，b_n+1≥

1

2

（n+1）b_n，n∈N^*．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：0＜a_n+1＜a_n＜1且a_n+1＜

an2

2

；
（3）若a₁=

2

2

，則當(dāng)n≥2時(shí)，求證：b_n＞a_n•n!．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N^*．又由0＜a_n＜1，得a_n+1-a_n=a_n-ln（1+a_n）-a_n=-ln（1+a_n）＜0，從而a_n+1＜a_n．再構(gòu)造函數(shù)g（x）=

x2

2

-f（x）=

x2

2

+ln（1+x）-x，0＜x＜1．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明a_n+1＜

an2

2

；
（3）由（2）a_n+1＜

an2

2

知：

an+1

an

＜

an

2

，利用累乘法可得a_n＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

．a(chǎn)₁＜

a1n

2n-1

=

2a12

2n

=

1

2n

． b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

-

b2

b1

≥

1

2n

-n!，即可得出證明．

解答： （1）解：因?yàn)閒（x）=x-ln（1+x），所以函數(shù)定義域?yàn)椋?1，+∞）   …（1分）
且f′（x）=1-

1

1+x

，…（2分）
由f′（x）＜0，得-1＜x＜0，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0）；
由f′（x）＞0，得x＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）（0，+∞）．…（3分）
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．…（4分）
（2）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N^*．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由已知得結(jié)論成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即0＜a_k＜1．則當(dāng)n=k+1時(shí)，
因?yàn)?＜x＜1時(shí)，f′（x）=1-

1

x+1

，所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
又f（x）在[0，1]上連續(xù)，所以f（x）＜f（_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-ln2＜1．
故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．即0＜a_n＜1對(duì)于一切正整數(shù)都成立 …（6分）
又由0＜a_n＜1，得a_n+1-a_n=a_n-ln（1+a_n）-a_n=-ln（1+a_n）＜0，
從而a_n+1＜a_n．綜上可知 0＜a_n+1＜a_n＜1  …（7分）
構(gòu)造函數(shù)g（x）=

x2

2

-f（x）=

x2

2

+ln（1+x）-x，0＜x＜1．
由g′（x）

x2

1+x

＞0，知g（x）在（0，1）上為增函數(shù)．
又g（x）在[0，1]上連續(xù)，所以g（x）＞g（0）=0．
因?yàn)?＜a_n＜1，所以g（a_n）＞0，即

an2

2

-f（a_n）＞0，從而a_n+1＜

an2

2

．…（10分）
（3）證明：因?yàn)?nbsp;b₁=

1

2

，b_n+1≥

1

2

（n+1）b_n，所以，b_n＞0，

bn+1

bn

≥

n+1

2

所以 b_n=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

-

b2

b1

≥

1

2n

-n!…①，…（12分）
由（2）a_n+1＜

an2

2

知：

an+1

an

＜

an

2

，所以

an

a1

=

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

，
因?yàn)閍₁=

2

2

，n≥2，0＜a_n+1＜a_n＜1
所以 a_n＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

．a(chǎn)₁＜

a1n

2n-1

=

2a12

2n

=

1

2n

----②．
由①②兩式可知：b_n＞a_n•n!…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及有關(guān)數(shù)列不等式的證明等知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題．