Question

9．如圖，已知拋物線C：x²=4y，直線l₁與C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB與它的中垂線l₂交于點(diǎn)G（a，1）（a≠0）．
（Ⅰ）求證：直線l₂過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)l₂分別交x軸，y軸于點(diǎn)M，N，是否存在實(shí)數(shù)a，使得A，M，B，N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入拋物線的方程，相減，由直線的斜率公式可得AB的斜率，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求得直線l2的方程，化簡(jiǎn)可得定點(diǎn)；
（Ⅱ）求得l₂經(jīng)過的點(diǎn)M，N，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得A，M，B，N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，運(yùn)用中垂線的性質(zhì)可得∠MAN=90°，即有|AG|²=|MG|•|NG|，聯(lián)立直線AB的方程和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得|AB|，進(jìn)而得到|AG|，再由兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理解方程即可得到所求a的值．

解答 解：（Ⅰ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}x_1^2=4{y_1}\\ x_2^2=4{y_2}\end{array}\right.$，兩式相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=4（y₁-y₂），
可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{2a}{4}$=$\frac{1}{2}$a，
由兩直線垂直的條件可得直線l₂的斜率為-$\frac{2}{a}$；
即有直線${l_2}：y=-\frac{2}{a}（x-a）+1$，
可得${l_2}：y=-\frac{2}{a}x+3$過定點(diǎn)（0，3）；
（Ⅱ）${l_2}：y=-\frac{2}{a}x+3$過$M（\frac{3a}{2}，0）$，N（0，3），
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得A，M，B，N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
由中垂線的性質(zhì)可得∠MAN=∠MBN，
可得∠MAN=90°，即有|AG|²=|MG|•|NG|，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}{2}（x-a）+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，可得x²-2ax+2a²-4=0，
x₁+x₂=2a，x₁x₂=2a²-4，
由弦長(zhǎng)公式可得|AB|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{a}^{2}-4（2{a}^{2}-4）}$=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$•$\sqrt{16-4{a}^{2}}$，
即有|MG|•|NG|=$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4+{a}^{2}}$=（$\frac{|AB|}{2}$）²=（1+$\frac{{a}^{2}}{4}$）•（4-a²），
所以$（1+\frac{a^2}{4}）（4-{a^2}）=\frac{1}{2}（{a^2}+4）$
所以a²=2，解得$a=±\sqrt{2}$．
故存在這樣的實(shí)數(shù)a，且為±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查直線的斜率和方程的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．