Question

4．設(shè)f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程．
（2）如果對(duì)任意的$s，t∈[\frac{1}{2}，2]$，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）的值，代入切線方程即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（x）的最大值，問題等價(jià)于a≥x-x²lnx恒成立，記h（x）=x-x²lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=\frac{1}{x}+xlnx$…（1分），
$f'（x）=lnx+1-\frac{1}{x^2}，x∈（0，+∞）$…（2分）
函數(shù)f（x）在（1，1）處的切線的斜率，
∴k_切=f'（1）=0，又切點(diǎn)為（1，1）…（3分）
所以f（x）在（1，1）處的切線方程為y=1…（4分）
（2）對(duì)于函數(shù)g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x（x-$\frac{2}{3}$），x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
令g′（x）=0，得x=0或x=$\frac{2}{3}$   …（5分）
當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）變化情況如下表：

x	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	-3	遞減	極（最）小值-$\frac{85}{27}$	遞增	1

由上表可知：g（x）_min=g（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{85}{27}$，g（x）_max=g（2）=1，…（6分）
所以在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上，g（x）的最大值為g（2）=1．
因此，原問題等價(jià)于當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)，f（x）≥1恒成立
等價(jià)于a≥x-x²lnx恒成立，…（7分）
記h（x）=x-x²lnx，h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0…（8分）
記m（x）=1-2xlnx-x，m′（x）=-3-2lnx，由于x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
m′（x）=-3-2lnx＜0，所以m（x）=h′（x）=1-2xlnx-x在[$\frac{1}{2}$，2]上遞減，
當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，h′（x）＞0，x∈（，1，2]時(shí)，h′（x）＜0，
即函數(shù)h（x）=x-x²lnx在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1）上遞增，在區(qū)間（1，2]上遞減，
所以h（x）_max=h（1）=1，…（9分）
所以a≥1．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．