Question

已知圓C：（x+1）²+（y-2）²=2
（1）若圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，求此切線的方程
（2）從圓外一點P（x，y）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）當截距不為零時：設(shè)切線方程為，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑求出a的值，即得切線方程，
當截距等于零時：設(shè)切線方程為y=kx（k≠0），同理可得，從而得到圓的所有的切線方程．
（2）有切線的性質(zhì)可得|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，可得2x-4y+3=0．動點P在直線2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，過點O作直線2x-4y+3=0的垂線，垂足為P，垂足坐標即為所求．
解答：解：（1）當截距不為零時：設(shè)切線方程為，即：x+y=a（a≠0），
圓C為：（x+1）²+（y-2）²=2，圓心為C（-1，2），到切線距離等于圓的半徑
所以．
當截距等于零時：設(shè)切線方程為y=kx（k≠0），同理可得．
所以所求切線方程為：x+y+1=0，或x+y-3=0，或或．
（2）∵PM⊥CM，∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，整理得：2x-4y+3=0．
即動點P在直線2x-4y+3=0上，所以，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
過點O作直線2x-4y+3=0的垂線，垂足為P，k_OP=-2
解方程組，得  ，所以點P坐標為．
點評：本題考查用點斜式、斜截式求直線方程的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，點到直線的距離公式，判斷
P在直線2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．