Question

18．用數(shù)學(xué)歸納法證明：$1+2+3+…+n=\frac{1}{2}\;n\;（n+1）$．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 解：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，1=1，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有1+2+3+…+k=$\frac{1}{2}$k（k+1）成立．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
1+2+3+…+k+k+1=$\frac{1}{2}$k（k+1）+（k+1）
=$\frac{1}{2}$（k+1）（k+2），
=$\frac{1}{2}$（k+1）[（k+1）+1]，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立，
∴對任意的n∈N₊，等式都成立．

點(diǎn)評 本題的考點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，主要考查數(shù)學(xué)歸納法的第二步，在假設(shè)的基礎(chǔ)上，n=k+1時(shí)等式左邊增加的項(xiàng)，關(guān)鍵是搞清n=k時(shí)，等式左邊的規(guī)律，從而使問題得解，屬于中檔題．