Question

3．在約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+2y≤4\\ x-y≤1\\ x+2≥0\end{array}\right.$下，
（1）求函數(shù)z=3x-y的最小值；
（2）若3x-y-m≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）畫出約束條件表示的可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，判斷目標(biāo)函數(shù)取得最小值的位置求解即可．
（2）轉(zhuǎn)化不等式，利用目標(biāo)函數(shù)的最大值，求解即可．

解答 解：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

作動直線l：z=3x-y
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ x+2=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\right.$，
即A（-2，3），
平移直線y=3x-z由圖象可知當(dāng)動直線l：y=3x-z經(jīng)過點A時，直線l在y軸上的截距最大，此時z最�。�
∴z_min=3×（-2）-3=-9．
（2）3x-y-m≤0恒成立可得3x-y≤m恒成立，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，可得C（2，1）．
平移直線y=3x-z由圖象可知當(dāng)動直線l：y=3x-z經(jīng)過點C時，
直線l在y軸上的截距最小，此時z最大．
∴z_max=3×2-1=5，
∴m的取值范圍為m≥5

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．