Question

數列{a_n}滿足an+1=an+2，a3=5，n∈N*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

an

2n

，Tn=b1+b2+…+bn，若T_n＜m（m∈Z），求m的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出a_n+1-a_n=2，n∈N^*，得到{a_n}為等差數列，由此能求出其通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

2n-1

2n

，利用錯位相減法求出T_n=3-

2n+3

2n

．設f（n）=

2n+3

2n

（n∈N^*），由f（x）的單調性能求出m的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足a_n+1=a_n+2，a₃=5，
∴a_n+1-a_n=2，n∈N^*，a₁=（a₃-2）-2=1，
∴{a_n}為等差數列，且a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

2n-1

2n

，
∴Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
設f（n）=

2n+3

2n

（n∈N^*），則有f（n）＞0，故T_n＜3，
∵

f(n+1)

f(n)

=

2n+5

2(2n+3)

=

1

2

+

1

2n+3

＜1，
∴f(n)=

2n+3

2n

，（n∈N^*）單調遞減，
當n≥4時，f（n）＜1，此時T_n＞2，
∵T_n＜m，（m∈Z）恒成立，∴m_min=3．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．