Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）證明數(shù)列{ a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂（a_n+1），{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），結(jié)合a₁=1，a₂=3，即a₂-a₁=2，可得：{ a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而利用疊加法可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂（a_n+1）=n，則

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項(xiàng)相消法，可得

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2(1-

1

n+1

)＜2．

解答： 證明：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
又∵a₁=1，a₂=3，即a₂-a₁=2，
所以，{ a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．…（3分）
a_n+1-a_n=2×2^n-1=2ⁿ，…（4分）
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1；…（7分）
（Ⅱ）b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，…（8分）
S_n=

n(n+1)

2

，…（9分）

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
所以

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)＜2．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的概念及簡單表示法，考查等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化與分析推理能力，屬于中檔題．