Question

已知9^x-12•3^x+27≤0，求y=（log₂

x

2

）•（log

1

2

2

2x

）最值及對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：由指數(shù)不等式9^x-12•3^x+27≤0，解出1≤x≤2，再設(shè)t=log₂x，我們易確定出t=log₂x的最大值和最小值，進(jìn)而得到t取值范圍；由已知中y=（log₂

x

2

）•（log

1

2

2

2x

），根據(jù)t的范圍，我們可以使用換元法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易得答案．

解答：解：∵9^x-12•3^x+27≤0，∴（3^x-3）•（3^x-9）≤0，即3≤3^x≤9，得1≤x≤2，
∴y=（log₂x-1）（log 

1

2

2

1

2

+log 

1

2

2x）=（log₂x-1）（log₂x+

1

2

）
∴令t=log₂x，則0≤t≤1，
y=t2-

1

2

t-

1

2

= (t-

1

4

)2-

9

16

，
∴當(dāng)t=1，即x=2時(shí)，y取得最大值0；
當(dāng)t=

1

4

，即x=

4	2

時(shí)，y取得最小值-

9

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．