Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

2

3

，橢圓G上的點(diǎn)N到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，點(diǎn)A、B分別是橢圓G長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓G上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，可求a=6，利用離心率為e=

2

3

，可得c=4，從而可求橢圓G的方程；（2）由（1）可得點(diǎn)A（-6，0），B（6，0），F(xiàn)（0，4），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），利用PA⊥PF，點(diǎn)P在橢圓上，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；                                        
（3）確定直線AP的方程，求出M到直線AP的距離是

|m+6|

2

，利用M到直線AP的距離等于|MB|，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，求出橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離，利用配方法，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵橢圓G上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為12，
∴2a=12，a=6…（1分）
∵e=

c

a

=

2

3

，∴c=4…（2分）
∴b=

a2-c2

=

36-16

=2

5

…（3分）
∴橢圓G的方程為

x2

36

+

y2

20

=1…（5分）
（2）由（1）可得點(diǎn)A（-6，0），B（6，0），F(xiàn)（0，4）…（6分）
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），由已知可得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

則 2x²+9x-18=0，x=

3

2

或x=-6．由于y＞0，只能x=

3

2

，于是y=

5 3

2

         …（8分）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3

2

，

5 3

2

）                                             …（9分）
（3）直線AP的方程是

y

5 3 2

=

x+6

3 2 +6

，即x-

3

y+6=0                                     …（10分）
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），則M到直線AP的距離是

|m+6|

2

．
∴

|m+6|

2

=|m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）…（12分）
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離為d，則d=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+20- 5 9 x2

∴d²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+20-

5

9

x²=

4

9

（x-

9

2

）²+15，…（13分）
∵-6≤x≤6，
∴當(dāng)x=

9

2

時，d取得最小值

15

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離，考查配方法的運(yùn)用，屬于中檔題．