Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點則知f'（1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)即可求a的值；
（II）要求函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，則要求導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（-1，0）大于等于零即可，另外要注意對a的討論．

解答：解：（I）∵f（x）=ax³-3x²
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一個極值點，
∴f'（1）=0，
∴a=2．
（II）①當(dāng)a=0時
f（x）=-3x²在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)
∴a=0符合題意；
②當(dāng)a≠0時，f'（x）=3ax（x-

2

a

），令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=

2

a

當(dāng)a＞0時，對任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合題意）
當(dāng)a＜0時，當(dāng)x∈（

2

a

，0）時f'（x）≥0，
∴

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0（符合題意）
綜上所述，a≥-2．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點取得極值的條件、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及證明，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．另外還有分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．