Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），M為C₁上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$，點(diǎn)P的軌跡為曲線C₂．
（Ⅰ）求C₂的普通方程；
（Ⅱ） 設(shè)點(diǎn)（x，y）在曲線C₂上，求x+2y的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為p（x，y），根據(jù)題意，用x、y表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)M是C₁上的動點(diǎn)，代入求出C₂的參數(shù)方程即可；
（Ⅱ）令x=3cosθ，y=2sinθ，則x+2y=3cosθ+4sinθ=5（$\frac{3}{5}cosθ+\frac{4}{5}sinθ$）=5sin（θ+φ）即可，

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則由條件知M（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$）．由于M點(diǎn)在C₁上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{3}{2}cosα\\ \frac{y}{2}=sinα\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，消去參數(shù)α得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
即C₂的普通方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
（Ⅱ） 由橢圓的參數(shù)方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，
則x+2y=3cosθ+4sinθ=5（$\frac{3}{5}cosθ+\frac{4}{5}sinθ$）=5sin（θ+φ），
其中tanφ=$\frac{3}{4}$．∴x+2y的取值范圍是[-5，5]．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求解，及參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．