Question

6．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥BA₁；
（Ⅱ）若M為A₁C₁的中點(diǎn)，問棱AB上是否存在點(diǎn)N，使得MN∥平面BCC₁B₁？若存在，求出$\frac{A{N}_{1}}{NB}$的值，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 解法一：（Ⅰ）由AA₁⊥平面ABC，可證AA₁⊥AC，又AB⊥AC，可證AC⊥平面ABB₁A₁．從而得證AC⊥A₁B．
（Ⅱ）取AC得中點(diǎn)E，連接MN，ME，NE，可證ME∥CC₁．從而可得ME∥平面BCC₁B₁．又可證NE∥BC，NE∥平面BCC₁B₁．即可證明平面MNE∥平面BCC₁B₁．從而可證MN∥平面BCC₁B₁．
解法二：（Ⅰ）由題意易證平面ABB₁A₁⊥平面ABC，且平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB．從而AC⊥AB，可證AC⊥平面ABB₁A₁．即可證明AC⊥A₁B．
（Ⅱ）取BC得中點(diǎn)F，連接MN，NF，C₁F．可得NF∥AC，NF=$\frac{1}{2}$AC．由MC₁∥AC，MC₁=$\frac{1}{2}$AC，可證四邊形MNFC₁為平行四邊形．即可證明MN∥C₁F．從而判定MN∥平面C₁F．

解答 （本題滿分12分）
解：解法一：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AA₁⊥AC．（2分）
∵AB⊥AC，AB∩AA₁=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁．（4分）
又∵A₁B?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥A₁B．（5分）
（Ⅱ）存在點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，即$\frac{AN}{NB}=1$，使得MN∥平面BCC₁B₁．（6分）
證明：取AC得中點(diǎn)E，連接MN，ME，NE
∵四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
且M，E分別為A₁C₁、AC的中點(diǎn)，
∴四邊形ECC₁M是平行四邊形
∴ME∥CC₁．（7分）
∵M(jìn)E?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴ME∥平面BCC₁B₁．（8分）
∵N，E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴NE∥BC．（9分）
∵NE?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，
∴NE∥平面BCC₁B₁．（10分）
∵M(jìn)E∩NE=E，
∴平面MNE∥平面BCC₁B₁．（11分）
（注：直接由兩組相交線平行得面面平行，扣2分）
∵M(jìn)N?平面MNE，
∴MN∥平面BCC₁B₁．（12分）
解法二：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，且平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB．（2分）
∵AC⊥AB，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁．（4分）
又∵A₁B?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥A₁B．（5分）
（Ⅱ）存在點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，即$\frac{AN}{NB}=1$，使得MN∥平面BCC₁B₁．（6分）
證明：取BC得中點(diǎn)F，連接MN，NF，C₁F．
∵N，F(xiàn)分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴NF∥AC，NF=$\frac{1}{2}$AC．（7分）
∵M(jìn)C₁∥AC，MC₁=$\frac{1}{2}$AC，
∴MC₁∥NF，MC₁=NF．（8分）
∴四邊形MNFC₁為平行四邊形．（10分）
∴MN∥C₁F．（11分）
∵M(jìn)N?平面BCC₁B₁，C₁F?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面C₁F．（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．