已知向量
m
=（cosθ，sinθ）和
n
=（
2
-sinθ，cosθ），θ∈[π，2π]．
（1）求|
m
+
n
|的最大值；
（2）當(dāng)|
m
+
n
|=
8
2
5
時(shí)，求cos（
θ
2
+
π
8
）的值．
分析：（1）根據(jù)向量的三角形法則求出
m
與
n
的和，然后求出
m
+
n
的模，化簡(jiǎn)后利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，根據(jù)根據(jù)θ的范圍得到余弦函數(shù)的值域，即可得到|
m
+
n
|的最大值；
（2）由|
m
+
n
|=
8
2
5
及第一問(wèn)求得的關(guān)系式得到cos（θ+
π
4
）的值，然后根據(jù)θ的范圍求出
θ
2
+
π
8
的范圍，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cos（
θ
2
+
π
8
）的值．
解答：解：（1）
m
+
n
=（cosθ-sinθ+
2
，cosθ+sinθ），
|
m
+
n
|=
(cosθ-sinθ+
2
)2+(cosθ+sinθ)2

=
4+2
2
(cosθ-sinθ)

=
4+4cos(θ+
π
4
)

=2
1+cos(θ+
π
4
)

∵θ∈[π，2π]，
∴
5π
4
≤θ+
π
4
≤
9π
4
，
∴cos（θ+
π
4
）≤1，|
m
+
n
|max=2
2
．

（2）由已知及（1）得|
m
+
n
|=
8
2
5
=2
1+cos(θ+
π
4
)
，
兩邊平方化簡(jiǎn)得cos（θ+
π
4
）=
7
25
．
又cos（θ+
π
4
）=2cos2（
θ
2
+
π
8
）-1，
∴cos2（
θ
2
+
π
8
）=
16
25
，
∵θ∈[π，2π]，
∴
5π
8
≤
θ
2
+
π
8
≤
9π
8
，
∴cos（
θ
2
+
π
8
）=-
4
5
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握向量的加法法則及向量模的求法，靈活運(yùn)用兩角和與差的余弦函數(shù)公式、二倍角的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)注意角的范圍．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
m
=（cosθ，sinθ）和
n
=（
2
-sinθ，cosθ），θ∈（π，2π）且|
m
+
n
|=
8
2
5
，則cos(
θ
2
+
π
8
)=
-
4
5
-
4
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
.
m
=（cosωx，sinωx），
.
n
=（cosωx，2
3
cosωx-sinωx），ω＞0，函數(shù)f（x）=
.
m
•
.
n
+|
.
m
|，且函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為
π
2

（1）作出函數(shù)y=f（x）-1在[0，π]上的圖象
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，f（A）=2，c=2，S△ABC=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•綿陽(yáng)二模）已知向量
m
=（cosωx，sinωx），
n
=（cosωx，2
3
cosωx-sinωx）（x∈R，ω＞0）函數(shù)f（x）=|
m
|+
m
•
n
且最小正周期為π，
（1）求函數(shù)，f（x）的最大值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且f（B）=2，c=3，S△ABC=6
3
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年河南省豫東、豫北十所名校高三測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量m=（cos A，cos B），n=（2c+b，a），且m⊥n．

    （I）求角A的大�。�

    （Ⅱ）若a=4，求△ABC面積的最大值．

 

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