Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax²-$\frac{1}{2}$x．
（Ⅰ） 當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，求f（x）的最大值；
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）+ax²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，其圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ） 當(dāng)a=0時(shí)，方程2mf（x）=x（x-3m）有唯一實(shí)數(shù)解，求正實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，得到a≥${（-{{\frac{1}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=x²-2mlnx-2mx，利用導(dǎo)數(shù)可得其最小值為h（x₂），得到2lnx₂+x₂-1=0．設(shè)m（x）=2lnx+x-1（x＞0），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得．

解答 解：（Ⅰ） 依題意，可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x，f′（x）=-$\frac{（x+2）（x-1）}{2x}$，
令f′（x）=0，解得x=1或x=-2（舍去）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以f（x）的極大值f（1）=-$\frac{3}{4}$即為f（x）的最大值．
（Ⅱ） 依題意，g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，
則有k=g′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在（0，3]上恒成立，
所以a≥${（-{{\frac{1}{2}x}_{0}}^{2}{+x}_{0}）}_{max}$．
當(dāng)x₀=1時(shí)，-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀取得最大值$\frac{1}{2}$，所以a≥$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ） 當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x，
因?yàn)榉匠?mf（x）=x（x-3m）有唯一實(shí)數(shù)解，
即x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)h（x）=x²-2mlnx-2mx，則h′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2mx-2m}{x}$．
令h'（x）=0，x²-mx-m=0．
∵m＞0，x＞0，
∴x₁=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$＜0（舍去），x₂=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）最小值為g（x₂）．
則 $\left\{\begin{array}{l}{h{（x}_{2}）=0}\\{h′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}-2ml{nx}_{2}-2{mx}_{2}=0}\\{{{x}_{2}}^{2}-{mx}_{2}-m=0}\end{array}\right.$，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0即2lnx₂+x₂-1=0．
設(shè)m（x）=2lnx+x-1（x＞0），m′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0恒成立，
故m（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，m（x）=0至多有一解．
又m（1）=0，∴x₂=1，即 $\frac{m+\sqrt{{m}^{2}+4m}}{2}$=1，
解得m=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了問題的轉(zhuǎn)化能力，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．