Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-2x，x∈[1，+∞）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）若a+2x＞$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的正負(fù)；
（2）利用轉(zhuǎn)化思想，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）證明：設(shè)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（\frac{1}{x_1}-2{x_1}）-（\frac{1}{x_2}-2{x_2}）$=$（\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}）+2（{x_2}-{x_1}）$=$\frac{{（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}+2（{x_2}-{x_1}）$
=$（{x_2}-{x_1}）（\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}+2）$，
因為x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則$（{x_2}-{x_1}）（\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}+2）＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；…（6分）
（2）$a+2x＞\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，即$a＞\frac{1}{x}-2x$在[1，+∞）上恒成立，
由（1）知$f（x）=\frac{1}{x}-2x$在[1，+∞）上是減函數(shù)，
則$\frac{1}{x}-2x$的最大值為f（1）=1-2×1=-1，…（10分）
從而有a＞-1，
所以實數(shù)a的取值范圍是（-1，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，利用轉(zhuǎn)化思想求恒成立問題，難點(diǎn)是函數(shù)最值的求解．