Question

7．已知函數f（x）=$\frac{1}{x}$-2x，x∈[1，+∞）．
（1）證明：函數f（x）在[1，+∞）上是減函數；
（2）若a+2x＞$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用定義法判斷函數的單調性，設x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的正負；
（2）利用轉化思想，把恒成立問題轉化為求函數的最值問題，通過函數的單調性求出函數的最值即可．

解答 解：（1）證明：設x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（\frac{1}{x_1}-2{x_1}）-（\frac{1}{x_2}-2{x_2}）$=$（\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}）+2（{x_2}-{x_1}）$=$\frac{{（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}+2（{x_2}-{x_1}）$
=$（{x_2}-{x_1}）（\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}+2）$，
因為x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則$（{x_2}-{x_1}）（\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}+2）＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以函數f（x）在[1，+∞）上是減函數；…（6分）
（2）$a+2x＞\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，即$a＞\frac{1}{x}-2x$在[1，+∞）上恒成立，
由（1）知$f（x）=\frac{1}{x}-2x$在[1，+∞）上是減函數，
則$\frac{1}{x}-2x$的最大值為f（1）=1-2×1=-1，…（10分）
從而有a＞-1，
所以實數a的取值范圍是（-1，+∞）．…（12分）

點評 本題考查了利用定義判斷函數單調性的方法，利用轉化思想求恒成立問題，難點是函數最值的求解．