Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，
（1）若b_n=S_n-3ⁿ，求{b_n}的通項公式；
（2）若a_n+1≥a_n恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）
即b_n+1=2b_n，b₁=S₁-3=a-3，
∴b_n=（a-3）•2^n-1，
（2）由（1）可得，S_n-3ⁿ=（a-3）•2^n-1．n≥2
a_n=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2，a_n+1-a_n=2（3ⁿ-3^n-1）+（a-3）（2^n-1-2^n-2）
=4•3^n-1+（a-3）•2^n-2≥0

當(dāng)n≥2時，，∴a-3≥-12，a≥-9
而a₂-a₁=6+（a-3）-a=3＞0，∴a≥-9時，a_n+1≥a_n恒成立．
分析：（1）由a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，S_n+1=2S_n+3ⁿ，進(jìn)而可得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），即b_n+1=2b_n，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求
（2）由（1）可得，S_n-3ⁿ=（a-3）•2^n-1．n≥2，從而可求a_n=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2，然后只要判斷a_n+1-a_n≥0是否成立
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1求解數(shù)列的通項公式，構(gòu)造特殊數(shù)列（等差、等比數(shù)列），數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用．