Question

14．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點．若向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（3，-1）共線，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．F（-c，0）．直線l的方程為：y=x+c，與橢圓方程聯(lián)立化為：（a²+b²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，根據(jù)向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（3，-1）共線，及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．F（-c，0）．
直線l的方程為：y=x+c，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（a²+b²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，y₁+y₂=x₁+x₂+2c=$\frac{2c^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{-2c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，$\frac{2c^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$），
∵向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（3，-1）共線，
∴-$\frac{-2c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$-3×$\frac{2c^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=0，
∴a²=3b²，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量共線定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．