Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，M為圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$上的點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)F₁與點(diǎn)M的直線交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段PF₁的中點(diǎn)，當(dāng)△PF₁F₂為銳角三角形時(shí)，雙曲線的離心率范圍為$（\sqrt{2}，\frac{\sqrt{10}}{2}）$．

Answer 1

分析 如圖所示，M為線段PF₁的中點(diǎn)，O為F₁F₂的中點(diǎn)，可得|PF₂|=2|MO|=a，|PF₁=|PF₂|+2a=3a．當(dāng)△PF₁F₂為銳角三角形時(shí)，∴只有可能∠PF₂F₁或∠F₁PF₂為最大角，因此必然為銳角．利用余弦定理即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵M(jìn)為線段PF₁的中點(diǎn)，O為F₁F₂的中點(diǎn)，
∴|PF₂|=2|MO|=a，|PF₁=|PF₂|+2a=3a．
|F₁F₂|=2c．
∵當(dāng)△PF₁F₂為銳角三角形時(shí)，∴只有可能∠PF₂F₁或∠F₁PF₂為最大角，因此必然為銳角．
∴（2c）²+a²＞（3a）²，且（3a）²+a²＞（2c）²，
可得c²＞2a²，且${c}^{2}＜\frac{5}{2}{a}^{2}$
解得$\sqrt{2}＜e＜\frac{\sqrt{10}}{2}$
故答案為：$（\sqrt{2}，\frac{\sqrt{10}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形中位線定理、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．