Question

6．已知tanα=4$\sqrt{3}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，則cosβ的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α+β），cosα，sinα的值，由β=（α+β）-α，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵tanα=4$\sqrt{3}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，
∴α+β∈（0°，180°），可得：sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{1}{7}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{11}{14}$）×$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．