Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈(0，e]，，其中e是自然常數(shù)，a∈R，
（1）討論a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)性、極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）的極小值為f（1）=1；
（Ⅱ） f（x）的極小值為1，即f（x）在(0，e]上的最小值為1，
∴f（x）＞0，，
令，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在(0，e]上單調(diào)遞增，
∴，
∴在（Ⅰ）的條件下，；
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx（x∈(0，e]）有最小值3，
，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在(0，e]上單調(diào)遞減，
（舍去），
所以，此時(shí)f（x）無最小值；
②當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，滿足條件；
③當(dāng)時(shí)，f（x）在(0，e]上單調(diào)遞減，
（舍去），
所以，此時(shí)f（x）無最小值；
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)f（x）有最小值3。