已知向量
OA
=3i-4j,
OB
=6i-3j,
OC
=(5-m)i-(3+m)j,其中i,j分別是平面直角坐標系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量.
(1)若點A,B,C能構成三角形,求實數(shù)m應滿足的條件;
(2)對任意m∈[1,2],不等式
AC
2≤-x2+x+3恒成立,求x的取值范圍.
考點:函數(shù)恒成立問題
專題:綜合題,不等式的解法及應用,平面向量及應用
分析:(1)依題意,以O為坐標原點建立直角坐標系,可得到點A、B、C的坐標,若A、B、C三點共線,則
AB
=t
AC
,可求得t與m的值,從而可得A、B、C三點不共線,即A,B,C能構成三角形時實數(shù)m應滿足的條件;
(2)依題意,可求得(
AC
2
)max
=1,解不等式-x2+x+3≥1即可求得x的取值范圍.
解答: 解:(1)依題意,以O為坐標原點建立直角坐標系,則A(3,-4),B(6,-3),C(5-m,-3-m),
∵A,B,C能構成三角形,
則A、B、C三點不共線,
若A、B、C三點共線,則
AB
=t
AC
?(3,1)=t(2-m,1-m),即
2t-tm=3
t-tm=1
,
解得
t=2
m=
1
2

∴當m≠
1
2
時,A,B,C能構成三角形;
(2)∵
AC
=(2-m,1-m),m∈[1,2],
AC
2=(2-m)2+(1-m)2=2m2-6m+5=2(m-
3
2
2+
1
2
,其對稱軸為m=
3
2
,
當m∈[1,
3
2
]時,該函數(shù)單調(diào)遞減,當m∈[
3
2
,2]時,該函數(shù)單調(diào)遞增,
∴當m=1或m=2時,
AC
2取得最大值1.
∵對任意m∈[1,2],不等式
AC
2≤-x2+x+3恒成立,
∴-x2+x+3≥(
AC
2
)max
=1,
即x2-x-2≤0,
解得:-1≤x≤2.
∴x的取值范圍為[-1,2].
點評:本題考查函數(shù)恒成立問題,主要考查平面向量的坐標運算,考查共線向量基本定理的應用,考查二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)與解不等式的能力,考查轉化思想,是難題.
練習冊系列答案
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x2
a2
+
y2
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2
2
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1
3
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4
26
9
,求k的值;
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C、
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2n-1
2n
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A、
63
64
B、
127
64
C、
64
63
D、
321
64

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