證明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>1n(n+1)+
n
2(n+1)
(n≥1).
考點:不等式的證明
專題:點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法,推理和證明
分析:利用數(shù)學歸納法證明:(1)當n=1時,易證左邊-右邊>0不等式成立;
(2)假設(shè)n=k(k∈N*)不等式成立,即1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
>1n(k+1)+
k
2(k+1)
(k≥1)成立,去推證當n=k+1時,不等式也成立即可.
解答: 證明:(1)當n=1時,左邊-右邊=1-(ln2+
1
4
)=
3
4
-ln2=
1
4
(lne3-ln16)>0不等式成立,
(2)假設(shè)n=k(k∈N*)不等式成立,即1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
>1n(k+1)+
k
2(k+1)
(k≥1)成立,
那么,當n=k+1時,左邊=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
+
1
k+1
>1n(k+1)+
k
2(k+1)
+
1
k+1
,
下面證明:[ln(k+1)+
k
2(k+1)
+
1
k+1
]≥ln[(k+1)+1]+
k+1
2(k+2)

即證
k+2
k+1
-
k+1
k+2
-2ln
k+2
k+1
≥0.
構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-
1
x
-2lnx(x>1),
則f′(x)=1+
1
x2
-
2
x
=(
1
x
-1)2≥0(當x=1時取“=”),
所以,f(x)=x-
1
x
-2lnx(x>1)為增函數(shù),
所以當x≥1時,f(x)≥f(1)=0,即x-
1
x
-2lnx≥0,
令x=
k+2
k+1
,則
k+2
k+1
-
k+1
k+2
-2ln
k+2
k+1
≥0,
即當n=k+1時,1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
+
1
k+1
>ln[(k+1)+1]+
k+1
2(k+2)
,
綜上所述,1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>1n(n+1)+
n
2(n+1)
(n≥1).
點評:本題考查不等式的證明,著重考查數(shù)學歸納法的應(yīng)用,證明當n=k+1時,不等式也成立是難點,構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-
1
x
-2lnx(x>1),利用導數(shù)法分析得到該函數(shù)為增函數(shù)是關(guān)鍵,屬于難題.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
x2,0<x≤2
2,x=0
x+1,-2≤x<0

(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(3)求f{f[f(-1)]}.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求函數(shù)y=(
1
2
)
x2-2x
單調(diào)區(qū)間,并證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

命題“若x>2015,則x>0”的否命題是( 。
A、若x>2015,則x≤0
B、若x≤0,則x≤2015
C、若x≤2015,則x≤0
D、若x>0,則x>2015

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)集合A={x|-2<x<1},B={x|-1≤x≤2},則A∪B=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知復(fù)數(shù)z=1-i.
(1)設(shè)w=z2+3
.
z
-4,求w的三角形式;
(2)如果z2-az+b=2+4i,求實數(shù)a,b的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0與g(x0)<0同時成立,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(-∞,2)
B、(0,4)
C、(6,+∞)
D、(7,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2(a>0),g(x)=min{x,4-x,2x-1},min{s,t}是取s,t中較小者.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若對于任意x1∈(1,+∞),都存在x2∈(0,+∞),使得f(x1)-g(x2)=0,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

長方體一個頂點上的三條棱的長度分別為3、4、5,且它的8個頂點都在同一球面上,這個球的表面積為( 。
A、50π
B、25
2
π
C、200π
D、20
2
π

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