Question

已知函數(shù)f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）
（1）是否存在點(diǎn)M（a，b），使得函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)y=f（x）的圖象上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）定義S_n=

2n-1

i-1

f（

i

n

）=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

2n-1

n

），其中n∈N^*，求S₂₀₁₄；
（3）在（2）的條件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2 an•（a_n）^m＞1對(duì)?n∈N^*且n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的公式，設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M（a，b），則f（x）+f（2a-x）=2b，代入解析式化簡(jiǎn)整理，即可解出a=b=1；
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2，將x=

i

n

（i=1，2，…，2n-1）代入函數(shù)式，并采用倒序相加的方法算出2S_n=2（2n-1），
化簡(jiǎn)得S_n=2n-1，從而算出S₂₀₁₃=2×2014-1=4027．
（3）由（2）中S_n=2n-1，結(jié)合題意算出a_n=n．原不等式等價(jià)于2n•nm＞1，兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，整理得

n

lnn

＞-

m

ln2

恒成立，
可得（

n

lnn

）min＞-

m

ln2

．然后設(shè)g（x）=

x

lnx

（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)g（x）在（0，e）上為減函數(shù)，在（e，+∞）上為增函數(shù)．
結(jié)合g（2）＞g（3）得到g（x）的最小值為g（3）=

3

ln3

，由此可得

3

ln3

＞-

m

ln2

，解之即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）假設(shè)存在點(diǎn)M（a，b），使得函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
則函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心為M（a，b）．
由f（x）+f（2a-x）=2b，得1+ln

x

2-x

+1+ln

2a-x

2-2a+x

=2b，
即2-2b+ln

-x2+2ax

-x2+2ax+4-4a

=0對(duì)?x∈（0，2）恒成立，所以

2-2b=0 4-4a=0

解得

a=1 b=1

．
所以存在點(diǎn)M（1，1），使得函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2（0＜x＜2）．
令x=

i

n

，則f（

i

n

）+f（2-

i

n

）=2（i=1，2，…，2n-1）．
因?yàn)镾_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（2-

1

n

），①，
所以S_n=f（2-

1

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

）  ②，
由①+②得2S_n=2（2n-1），所以S_n=2n-1（n∈N^*），
所以S₂₀₁₄=2×2014-1=4027．
（3）由（2）得S_n=2n-1（n∈N^*），
所以a_n=

Sn+1

2

=n（n∈N^*），
因?yàn)楫?dāng)n∈N^*，且n≥2時(shí)，2 an•（a_n）^m＞1?2ⁿ•n^m＞1?

n

lnn

＞-

m

ln2

．
所以當(dāng)當(dāng)n∈N^*，且n≥2時(shí)，不等式

n

lnn

＞-

m

ln2

恒成立?(

n

lnn

)min＞-

m

ln2

，
設(shè)g（x）=

x

lnx

（x＞0），則g′（x）=

lnx-1

(lnx)2

．
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，e）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增；
因?yàn)間（2）-g（3）=

2

ln2

-

3

ln3

=

ln9-ln8

ln2•ln3

＞0，所以g（2）＞g（3），
所以當(dāng)當(dāng)n∈N^*，且n≥2時(shí)，[g（n）]_min=g（3）=

3

ln3

．
由[g（n）]_min＞-

m

ln2

，得

3

ln3

＞-

m

ln2

，解得m＞-

3ln2

ln3

．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-

3ln2

ln3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、函數(shù)圖象的對(duì)稱中心研究、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值和不等式恒成立的討論等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．