Question

15．試證直徑上的圓周角為直角．

Answer 1

分析 要證PA與PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把兩個(gè)斜率相乘得到乘積為-1，所以以AB所在的直線為x軸，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則得到A、B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），表示出PA與PB的斜率相乘，把P坐標(biāo)代入圓的方程化簡(jiǎn)可得乘積為-1即可得證．

解答 證明：將圓的直徑AB所在的直線取為x軸，圓心作為原點(diǎn)，
不妨設(shè)定圓的半徑為1，于是圓的方程是x²+y²=1．
A、B的坐標(biāo)是A（-1，0）、B（1，0）．
設(shè)P（x，y）是圓上任一點(diǎn)，則有y²=1-x²．
∵PA的斜率為k₁=$\frac{y}{x+1}$，PB的斜率為k₂=$\frac{y}{x-1}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$=-1
∴PA⊥PB，∠APB為直角．
即直徑上的圓周角為直角，得證．

點(diǎn)評(píng) 此題為一道證明題，要求學(xué)生掌握兩直線垂直的條件為斜率乘積為-1，會(huì)利用解析的方法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于中檔題．