Question

6．已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|x²-4ax+3a²＜0}．
（1）若a=-1，求A∩（∁_RB）；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 化簡集合A、B，求出（1）a=-1時，集合B以及∁_RB，計算A∩（∁_RB）即可；
（2）討論a的值，求出對應(yīng)的集合B，以及A∩B=∅成立時a的取值范圍．

解答 解：集合A={x|x²-6x+8＜0}={x|（x-2）（x-4）＜0}={x|2＜x＜4}，
B={x|x²-4ax+3a²＜0}={x|（x-a）（x-3a）＜0}；
（1）當a=-1時，B={x|-3＜x＜-1}，
∴∁_RB={x|x≤-3或x≥-1}，
∴A∩（∁_RB）={x|2＜x＜4}；
（2）①當a=0時，集合B=∅，A∩B=∅成立，∴a=0；
②當a＞0時，集合B={x|a＜x＜3a}，
要使A∩B=∅成立，則有3a≤2或a≥4，
解得a≤$\frac{2}{3}$或a≥4，即0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥4；
③當a＜0時，集合B={x|3a＜x＜a}，
要使A∩B=∅，則有3a≥4或a≤2，
解得a≥$\frac{4}{3}$或a≤2，即a＜0；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤$\frac{2}{3}$或a≥4}．

點評 本題考查了交、并、補集的混合運算，以及集合間的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．