【題目】已知,設(shè)實(shí)數(shù)、、、滿足

(i)、、且不全為0;

(ii)、;

(iii)若,則.

若所有形如的數(shù)均不為2014的倍數(shù),則稱(chēng)集合為“好集”.求好集所含元素個(gè)數(shù)的最大值.

【答案】503

【解析】

(1)構(gòu)造一個(gè)503元好集.

設(shè).

、、均不為0,則

.

于是,為奇數(shù),一定不為2014的倍數(shù).

、、中有0,不妨設(shè),則由條件(i)知中至少有一個(gè)不為0.

由條件(iii)知.

注意到,.

一定不為2014的倍數(shù).

顯然,為奇數(shù),一定不為2014的倍數(shù).

503元好集.

(2)設(shè)為好集.下面證明:.

設(shè)的最小元素為.則集合中任意兩元素的差不為.否則,設(shè)、,,得2014的倍數(shù),矛盾.

中大于的元素從大到小每個(gè)分為一組,設(shè)可分成組,余下的個(gè)數(shù)為,,…,.

顯然,,組中的每一組至多有個(gè)數(shù)在集合.

由好集的定義,知2014、,且不同在集合.

不妨設(shè),否則,只需將集合中大于1007的元素?fù)Q成.

事實(shí)上,若中有某個(gè),則將其中的變?yōu)?/span>,將變?yōu)?/span>后得到的數(shù)與2014相同.

下面對(duì)分情形討論.

1)若,則,,…,中至多有個(gè)數(shù)屬于集合.

.

2)若,則.

從而,任意一個(gè)好集必滿足.

由(1)、(2),知好集所含元素個(gè)數(shù)的最大值為503.

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