4．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{sinx，x＜1}\\{{x^3}-9{x^2}+25x+a，x≥1}\end{array}}\right.$，若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有三個不同的公共點，則實數(shù)a的取值集合為{-20，-16}．

分析 因為y=sinx  （x＜1）與y=x有1個交點，故只需函數(shù)f（x）=x3-9x2+25x+a（x≥1）的圖象與直線y=x有2個不同的公共點即可，只需g（x）=x3-9x2+24x+a（x≥1）與x軸有2個交點即可，

解答 解：因為y=sinx  （x＜1）與y=x有1個交點，故只需函數(shù)f（x）=x3-9x2+25x+a（x≥1）的圖象與直線y=x有2個不同的公共點即可，
令g（x）=x3-9x2+24x+a（x≥1），
g′（x）=3x2-18x+24=3（x2-6x+8）=2（x-2）（x-4），
當x∈（1，2），（4，+∞）時g（x）單調(diào)遞增，當x∈（2，4）時g（x）單調(diào)遞減，
依題意只需g（x）=x3-9x2+24x+a（x≥1）與x軸有2個交點即可，∵g（4）=16+a，g（1）=16+a
∴只需g（1）=16+a=0，g（2）=20+a=0，∴a=-20或a=-16．
故答案為{-20，-16}

點評 題主要考查函數(shù)的圖象的交點以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，屬于基礎題．

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