Question

20．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-2|，不等式f（x）≤2的解集為M．
（1）求M；     
（2）記集合M的最大元素為m，若正數(shù)a，b，c滿足abc=m，
求證：$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}≤\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （1）由零點分段法，分類討論，即可求M；     
（2）abc=1，利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=|2x+1|-|x-2|≤2化為：$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-x-3≤2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤2}\\{3x-1≤2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x+3≤2}\end{array}}\right.⇒-5≤x＜-\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}≤x≤1$
所以集合M={x|-5≤x≤1}..…（5分）
（2）集合M中最大元素為m=1，所以abc=1，其中a＞0，b＞0，c＞0
因為$\frac{1}{a}+\frac{1}≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\sqrt{\frac{abc}{ab}}=2\sqrt{c}$，$\frac{1}+\frac{1}{c}≥2\sqrt{\frac{1}{bc}}=2\sqrt{\frac{abc}{bc}}=2\sqrt{a}$，．…（7分）
$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}≥2\sqrt{\frac{1}{ac}}=2\sqrt{\frac{abc}{ac}}=2\sqrt$，
三式相加得：$2（\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}）≤2（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）$，
所以$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}≤\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$．…（10分）

點評 本題考查不等式的解法，考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．