Question

15．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的虛軸長為2，焦距為2$\sqrt{3}$，求雙曲線的漸近線方程并求以雙曲線焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓方程．

Answer 1

分析 利用已知條件求出a，b，然后求解雙曲線的漸近線方程，然后推出橢圓的長半軸的長，短半軸的長，求出橢圓方程即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的虛軸長為2，焦距為2$\sqrt{3}$，
可得：b=1，c=$\sqrt{3}$，則a=$\sqrt{2}$，漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
以雙曲線焦點和頂點分別為頂點和焦點的橢圓的長半軸為：$\sqrt{3}$，半焦距為：$\sqrt{2}$，短半軸為：1，
橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查基本知識的應(yīng)用．