Question

4．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，若方程f（f（x））=x有且僅有一個實數(shù)根，則f（x）的解析式可能是（　�。�

• A． f（x）=|2x-1|
• B． f（x）=e^x
• C． f（x）=x²+x+1
• D． f（x）=sinx

Answer 1

分析 對于A，解絕對值的方程可得四個實數(shù)解，即可判斷；對于B，運用函數(shù)y=e^x-x的單調性，即可判斷；
對于C，由方程化簡和非負數(shù)的概念，即可判斷；對于D，由y=sinx-x的單調性，即可判斷．

解答 解：對于A，由f（f（x））=x，即為|2|2x-1|-1|=x，可得x=1或$\frac{1}{3}$或$\frac{1}{5}$或$\frac{3}{5}$，故A不可能；
對于B，由（e^x-x）′=e^x-1，可得y=e^x-x的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0），
即e^x-x的最小值為e⁰-0=1＞0，即有e^x＞x恒成立，則f（f（x））=x無實數(shù)解，故B不可能；
對于C，f（x）=x²+x+1，f（f（x））=（x²+x+1）²+（x²+x+1）+1=x，即為（x²+x+1）²+x²+2=0無實數(shù)解，
故C不可能；
對于D，由y=sinx-x的導數(shù)為y′=cosx-1≤0，可得函數(shù)y=sinx-x在R上遞減，由x=0時，y=sin0-0=0，
可得sin（sin0）=sin0=0，且sin（sinx）-x在R上單調，則f（f（x））=x有且僅有一個實數(shù)根0，故D可能．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)方程的轉化思想的運用，考查函數(shù)的單調性和導數(shù)的運用，考查運算能力，屬于中檔題．