Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}x+1，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-ax=0恰有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，$\frac{4}{3}$]
• D． （-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．

解答 解：∵方程f（x）-ax=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，
又∵a表示直線y=ax的斜率，
∴x＞1時(shí)，y′=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
而切線過(guò)原點(diǎn)，∴y₀=1，x₀=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直線l₁的斜率為$\frac{1}{e}$，
又∵直線l₂與y=$\frac{1}{3}$x+1平行，
∴直線l₂的斜率為$\frac{1}{3}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，是易錯(cuò)題．