Question

已知x+y=1，y＞0，x≠0，則

1

2|x|

+

|x|

y+1

最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件利用消元法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的式子，利用基本不等式的性質(zhì)即可求出式子的最值．

解答： 解：由x+y=1，y＞0得y=1-x＞0，
解得x＜1且x≠0．
①當(dāng)0＜x＜1時(shí)，

1

2|x|

+

|x|

y+1

=

1

2x

+

x

y+1

=

1

2x

+

x

2-x

=

x+2-x

4x

+

x

2-x

=

1

4

+

2-x

4x

+

x

2-x

≥

1

4

+2

2-x 4x • x 2-x

=

1

4

+2

1 4

=

1

4

+1=

5

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)

2-x

4x

=

x

2-x

，即x=

2

3

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值

5

4

．
②當(dāng)x＜0時(shí)，

1

2|x|

+

|x|

y+1

=

1

-2x

-

x

2-x

=

2-x+x

-4x

+

-x

2-x

=

2-x

-4x

+

-x

2-x

-

1

4

，
∵x＜0，∴-x＞0，2-x＞0，
∴

1

2|x|

+

|x|

y+1

=

2-x

-4x

+

-x

2-x

-

1

4

≥2

2-x -4x • -x 2-x

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，當(dāng)且僅當(dāng)-

2-x

4x

=-

x

2-x

，
即（2-x）²=4x²，即3x²+4x-4=0，解得x=-2或x=

2

3

（舍）時(shí)，取得號(hào)，此時(shí)最小值為

3

4

，
綜上

1

2|x|

+

|x|

y+1

最小值為

3

4

，
故答案為：

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查式子最值的求解，根據(jù)條件結(jié)合基本不等式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．