Question

2．已知實數(shù)a、b都是常數(shù)，若函數(shù)y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x-1的圖象在切點（0，$\frac{1}{2}$）處的切線方程為3x+4y-2=0，y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x-1與y=k（x-1）³的圖象有三個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出a，b的值，利用數(shù)形結(jié)合判斷兩個函數(shù)的交點個數(shù)進行求解即可．

解答 解：當x＜1時，函數(shù)y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x-1=$\frac{a（1-x）}{x+2}$+be^2x-1，
則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{-3a}{（x+2）^{2}}$+2be^2x-1，
∵若函數(shù)y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x-1的圖象在切點（0，$\frac{1}{2}$）處的切線方程為3x+4y-2=0，
∴f（0）=$\frac{1}{2}$，且f′（0）=$-\frac{3}{4}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{e}=\frac{1}{2}}\\{\frac{-3a}{4}+\frac{2b}{e}=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，得a=1，b=0，
即y=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^2x-1=$\frac{|x-1|}{x+2}$，
由$\frac{|x-1|}{x+2}$=k（x-1）³得當x=1時，方程成立，
當x≠1時，
若x＞1得$\frac{x-1}{x+2}$=k（x-1）³得$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，
若x＜1得-$\frac{x-1}{x+2}$=k（x-1）³得-$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，
若k=0，則兩個方程無解，
若k＞0時，作出對應函數(shù)的圖象如圖：此時滿足當x＞1時，有一個交點，
當x＜1時，有一個交點，此時滿足兩個函數(shù)共有3個交點．

若k＜0時，作出對應函數(shù)的圖象如圖：此時滿足當x＞1時，沒有交點，
當x＜1時，則需要有2個交點，
由-$\frac{1}{x+2}$=k（x-1）²，得k（x+2）（x-1）²+1=0，x＜1，
設g（x）=k（x+2）（x-1）²+1，
則g′（x）=3k（x-1）（x+1），x＜1，k＜0，
由g′（x）=0，x=-1，
當x＜-1時，g′（x）＜0，
當-1＜x＜1時，g′（x）＞0，
即當x=-1函數(shù)取得極小值g（-1）=4k+1，
要使當x＜1時，則g（x）要有2個交點，
則極小值g（-1）=4k+1＜0，得k＜-$\frac{1}{4}$，
此時滿足兩個函數(shù)共有3個交點．

綜上k的取值范圍是k＞0或k＜0，
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（0，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出a，b的值，利用數(shù)形結(jié)合作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．