Question

10．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為B（0，-1），且右焦點到直線x-y+3$\sqrt{3}$=0的距離為2$\sqrt{6}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+$\sqrt{3}$（k＞0）與橢圓C相交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得b=1，設(shè)出右焦點，運用點到直線的距離公式，解方程可得c，進而得到a=2，可得橢圓方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出|PQ|，求出原點到直線l的距離，表示出三角形的面積，進而利用基本不等式，即可求得△OPQ面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得b=1，即有a²-c²=1，
又右焦點F（c，0）到直線x-y+3$\sqrt{3}$=0的距離為2$\sqrt{6}$，
即有$\frac{|c+3\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{6}$，解得c=$\sqrt{3}$，
即有a=2，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1：
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²+8$\sqrt{3}$kx+8=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，
△=（8$\sqrt{3}$k）²-32（1+4k²），即：2k²-1＞0．
又原點到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64×3{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{32}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{64{k}^{2}-32}}{1+4{k}^{2}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{64{k}^{2}-32}}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2}}{1+4{k}^{2}}$，
令t=$\sqrt{4{k}^{2}-2}$，（t＞0），可得4k²=t²+2，
即有$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{t}{3+{t}^{2}}$=$\frac{1}{t+\frac{3}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{3}{t}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{3}$，即k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，面積取得最大值，且為1．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點到直線的距離公式的運用，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．