等比數(shù)列{an}中,an>0(n∈N*),a1a3=4,且a3+1是a2和a4的等差中項,若bn=log2an+1
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=an+1+
1
b2n-1b2n+1
,求數(shù)列{cn}的前n項和.
考點:數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出a2,由等差中項和等比數(shù)列的通項公式求出公比q,求出an和bn;
(2)由(1)和題意求出cn,利用分組求和法、裂項相消法、等比數(shù)列的前n項和公式求出數(shù)列{cn}的前n項和.
解答: 解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,且q>0,
在等比數(shù)列{an}中,由an>0、a1a2=4得,a2=2,①
又a3+1是a2和a4的等差中項,所以2(a3+1)=a2+a4,②
把①代入②得,2(2q+1)=2+2q2,解得:q=2或q=0(舍去),
所以an=a2qn-2=2n-1,
則bn=log2an+1=log22n=n…(4分)
(2)由(1)得,cn=an+1+
1
b2n-1b2n+1
=2n+
1
(2n-1)(2n+1)

=2n+
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,…(6分)
所以數(shù)列{cn}的前n項和Sn=2+22+…+2n+
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)
+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
2(1-2n)
1-2
+
1
2
(1-
1
2n+1
)
=2n+1-2+
n
2n+1
  …(12)
點評:本題考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、性質(zhì),等差中項的性質(zhì),對數(shù)的運算性質(zhì),以及數(shù)列求和的常用方法:分組求和法、裂項相消法.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)在區(qū)間x∈[0,1]上的最大值與最小值之和為3,則實數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
m
1+i
=1-ni,其中m,n∈R,i為虛數(shù)  單位,則m+ni=( 。
A、1+2iB、2+i
C、1-2iD、2-i

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題正確的是( 。
2cos5°-sin25°
cos25°
=
3

②已知非零向量
a
,
b
,若
a
b
=0,則
|
a
-2
b
|
|
a
+2
b
|
=2
(1+x+x2)(x-
1
x
)6
的展開式中的常數(shù)項為-5.
④已知(
x
+
1
x
)n
展開式中常數(shù)項是
C
4
n
,則n=12.
⑤拋擲兩枚骰子,當至少有一枚4點或5點出現(xiàn)時,就說這次實驗成功,則在30次實驗中成功次數(shù)X的方差D(X)=
200
27
A、①③④B、②④⑤
C、①④⑤D、①③⑤

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,其前n項和Sn滿足Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N*);數(shù)列{bn}中,b1=a1,{bn+2}是以4為公比的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn=bn+2+(-1)n-1λ•2an(λ為非零整數(shù),n∈N*),試確定λ的值,使得對任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在R上定義運算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1對任意實數(shù)x成立,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、{a|-1<a<1}
B、{a|0<a<2}
C、{a|-
1
2
<a<
3
2
}
D、{a|-
3
2
<a<
1
2
}

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若函數(shù)f(x),g(x)分別是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)-g(x)=ex(e是自然對數(shù)的底數(shù)),則有( 。
A、f(2)<f(3)<g(0)
B、g(0)<f(3)<f(2)
C、g(0)<f(2)<f(3)
D、f(2)<g(0)<f(3)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知(2,1)是直線l被橢圓
x2
16
+
y2
4
=1所截得的線段的中點,則直線l的方程是(  )
A、x+2y-4=0
B、x-2y=0
C、x+8y-10=0
D、x-8y+6=0

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)對任意的實數(shù)m,n都有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且當x>0時,有f(x)>1.
(1)求f(0);
(2)求證:f(x)在R上為增函數(shù);
(3)若f(6)=7,且關(guān)于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3對任意的x∈[-1,+∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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