Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+2+S_n=2S_n+1+1（n∈N^*）；數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，{b_n+2}是以4為公比的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=b_n+2+（-1）^n-1λ•2a_n（λ為非零整數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n+2+S_n=2S_n+1+1得S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n）=1，即a_n+2-a_n+1=1（n≥1），再驗(yàn)證a₂-a₁=1，從而得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求出a₁和公差d，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n，b_n；
（2）由（1）和題意求出c_n，代入c_n+1-c_n化簡并將不等式轉(zhuǎn)化為：（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立，再對(duì)n分偶數(shù)、奇數(shù)討論，分別分離出λ，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和n的取值，求出對(duì)應(yīng)的最值，從而求出c的范圍．

解答： 解：（1）由S_n+2+S_n=2S_n+1+1得，S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n）=1，
所以a_n+2-a_n+1=1（n≥1）（2分）
又a₂-a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
所以a_n=n+1．（4分）
因?yàn)閧b_n+2}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．
所以b_n=4ⁿ-2．（6分）
（2）因?yàn)閍_n=n+1，b_n=4ⁿ-2，所以c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹．
要使c_n+1＞c_n恒成立，需c_n+1-c_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
即3•4ⁿ-3λ（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立．所以（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．（9分）
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜2^n-1恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2^n-1有最小值1，所以λ＜1；                   （10分）
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞-2^n-1恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，-2^n-1有最大值-2．所以λ＞-2，（11分）
結(jié)合①②可知-2＜λ＜1．
又λ為非零整數(shù)，則λ=-1．
故存在λ=-1，使得對(duì)任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及作差法解決數(shù)列不等式問題，恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．